數學課堂重在引領學生探究

    人物介紹

張蜀青，理學博士，正高級教師，特級教師。國家高層次人才特支計劃教學名師，廣東省特支計劃教學名師，廣東省名教師工作室主持人。1993年7月至2023年7月在廣州市執(zhí)信中學擔任數學教師及學科組長。2023年8月作為人才引進，在廣州大學數學與信息科學學院工作，任教高等數學、數學教育等課程。近年來在核心期刊發(fā)表多篇文章，作為主要撰寫人完成《問題驅動的中學數學課堂教學——理論與實踐卷》等4本教育專著。    

作為一名中學數學教師，在職業(yè)生涯前十多年里，我的注意力幾乎都集中在如何提高學生的考試分數上。我花費很多時間和精力下載試卷、比較試題，看看有什么題型或者新奇的解題方法沒有講過，然后趕緊在課堂上補充。當時，我對自己工作的評價也停留在看平均分、合格率、優(yōu)秀率、最高分在全年級乃至全市、全省的排名。但是達到了這些目標，就是一位真正優(yōu)秀的教師嗎？蘇霍姆林斯基對此已經預先給出了答案：“不要讓上課、評分成為人的精神生活的唯一的、吞沒一切的活動領域?！彼J為知識既是目的又是手段，知識不是為了“儲存”，而是為了“流通”。

    問題驅動 重構教學

經過20多年課改，如今教師越來越注重關于知識的起源或應用的講解。如新、舊版教材里《橢圓的標準方程》中，對橢圓的探究都是用“拉線作圖”畫出一個橢圓，從而給出定義：“平面內與兩個定點的距離之和等于常數（大于兩定點間距離）的點的軌跡叫作橢圓?！钡@個探究方法是如何想到的？近十年來，不少教師和學者為此做了很多探索。有的教師使用折紙的辦法讓學生做出圓錐曲線，有的教師嘗試用著名的Dandelin雙球模型發(fā)現橢圓的焦點，還有的教師利用了橢圓的第三定義，但是這些仍然沒有解決“怎么想到的”這個問題，甚至有的方法還會因為要求運用過高的幾何證明而沖淡了主題。

如何創(chuàng)設出科學的問題情境，讓學生去發(fā)現橢圓的性質并給出其定義？縱觀圓錐曲線的發(fā)展，它的幾何性質在公元前400年就被發(fā)現了，但直到17世紀，科學家在研究光學問題時發(fā)現圓錐曲線的性質可以用來解決相關問題，這才使得圓錐曲線再次被重視起來。電影放映機的工作原理正是利用了橢圓的幾何性質。

于是我在課堂上從放映機的工作原理開始，首先拋出一個問題：“放映機上的透鏡會不會是圓球面的一部分？即透鏡的曲面截口線是不是一段圓??？”學生們想到了反證法，先假設這是一段圓弧，則光線被透鏡反射后必經原路返回到圓心O，不可能聚焦于異于圓心O的另外一點F，從而否定了這個假設。此時，我拋出第二個問題：“這條截口線應該是什么樣的曲線？”有些預習了的學生根據教學進度猜測是橢圓，但是無法提供充分的理由。我提示學生們抓住光線反射原理這個關鍵點，終于有部分學生利用光線反射原理，借助法線和切線找到了截口線上的點到O、F兩點的距離之和為定值這一規(guī)律。緊接著我拋出第三個問題：“具有這個幾何性質的點的軌跡是什么？你能畫出來嗎？”學生們借助用繩子畫圓的辦法畫出了橢圓，還在這個實踐中發(fā)現把繩子繃直固定在O、F處是無法畫出橢圓的，從而發(fā)現了O、F兩點之間的距離跟定值的關系。最后，我讓學生像直線、圓那樣給這條曲線寫出代數式。

與常規(guī)課堂不同的是，這節(jié)課除了推演，沒有任何練習環(huán)節(jié)。由于課堂時間只有40分鐘，起初，對于把寶貴的15分鐘放在做練習上，還是引領學生探索“橢圓是什么以及為什么”上，我有所糾結。但最終，我選擇了后者。做練習雖然能幫助學生鞏固對概念的理解，但屬于模仿，缺少探究性。課堂教學應該把發(fā)展思維、培養(yǎng)核心素養(yǎng)放在首位，不妨把一些模仿、固化的環(huán)節(jié)留到課后。這節(jié)課通過設置科學的問題情境，由學生來完成對橢圓定義的再創(chuàng)造，每個知識要點都是學生實踐探索所得。這個過程雖然存在困難，但是克服困難才更能讓學生真正體會解決問題的快樂。

    課題探究 深度學習

深度學習是近幾年的熱門話題，很多教師認為深度學習就是加大例題、習題的難度。仔細閱讀教育部的文件和相關研究論述，可以發(fā)現深度學習不僅強調深度思維，更強調培養(yǎng)學生發(fā)展核心素養(yǎng)，關注教學的本質，讓生本理念在深度學習中落實。因此，深度學習不是盲目加大難度，也不是課堂場面上的熱熱鬧鬧，而是通過師生間激烈深刻的思維碰撞，引領學生探索知識的本質以及知識背后蘊含的思想。

以“統(tǒng)計”這一章為例，由于高考對這部分的考查傾向于應用，多數時候只要把數據套入公式計算出結果即可，這就導致高中統(tǒng)計的學習成了統(tǒng)計公式的使用學習。學生學完這章感覺既簡單又艱澀：感覺簡單，是因為考試、作業(yè)套用公式就行，相對而言沒有太多思維量；感覺艱澀，是因為完全不知道這些公式因何產生，知識點之間的邏輯關系不清楚，很快就忘了。

于是，我針對這個板塊進行課題研究式教學。我根據學生小學、初中的統(tǒng)計基礎，把高中統(tǒng)計內容分為三個子課題——獲取數據的方法、單個變量數據的統(tǒng)計分析、成對數據的統(tǒng)計分析，從而展開課題研究。在教學過程中，我發(fā)現了新的問題。由于小學初中學過抽樣、平均數、方差等知識，到了高中學這部分內容時，很多學生提不起興趣，有些教師也覺得太簡單就一帶而過，導致高中的新增知識也被忽略了。

鑒于此，我決定改變教學方式。首先，指導學生通過閱讀官方發(fā)布的社會民生統(tǒng)計報告，了解統(tǒng)計報告的一般形式。其次，給學生布置兩個任務：在班級完成一個敏感問題的普查（敏感問題由學生在合法合規(guī)范圍內自定）；運用所掌握的統(tǒng)計學知識，完成對本年級學生假期學習時長和睡眠時長的調查，包括運用所知道的統(tǒng)計工具分析數據、描述調查結果、撰寫調查報告。在這個活動中，學生們了解了所學的統(tǒng)計知識能解決什么問題，解決這些問題的價值與意義何在，以及想進一步解決更多問題還需要做什么探索。學生們對這個活動興趣很高，任務完成率達到100%，研究結果還在年級進行了展評。

在后續(xù)學習中，學生們學會用類似的方式提出問題、查找資料、演繹推理，感受到統(tǒng)計知識的神奇所在。這種在教師引領下的學習新知，如同做課題研究，不但能幫助學生弄清楚每個知識點因何產生，向何處去，還能運用在實際生活中。這就是深度學習。

    掇菁擷華 行以致遠

數學知識與數學文化之間存在著密切關系，一個擁有豐富數學文化的人，通常對數學學習有更強烈的興趣和動機。

2009年，我校一位2003屆的校友破解了一個學術界的重大難題，成為亞洲第一個在國際計算機視覺與模式識別會議（CVPR）拿到最佳論文獎的人。他在高中階段并不是一個愛刷題的人，但成績始終名列前茅。為此我特地問他有什么獨特的學習方法，他說自己每天完成功課之余就是讀書。著名科普作家、特級教師張遠南先生編寫的“數學故事叢書”，是他非常喜歡的一套書。他通過讀數學史厘清知識的來龍去脈，這對他后續(xù)的學習和工作產生了深遠影響。一個人若想在學術上有所創(chuàng)新，突破人類認知邊界，就必須有科學家的眼光和思維方式。這種能力無法靠刷題來培養(yǎng)，但可以通過弄清楚知識的生成過程而習得。后來，他還把“數學故事叢書”這套書送給了我，我也立即在課堂上分享給當時所教的學生們。

近年來，越來越多的教師開始重視在教學中滲透數學文化，但我認為，其形式不應止于引進數學史和次數有限的文化欣賞，還應運用數學文化中的數學思維方式和解決問題的方法去影響學生的思維模式，鼓勵他們創(chuàng)新與發(fā)展。雖然教師不可能把所有的學生都培養(yǎng)成科學家，但是每個學生都有其獨特的稟賦、愛好和特長，教師需要做的事情就是提供良好的條件，讓他們的能力得到充分的發(fā)展。其中重要途徑之一就是在教學中激發(fā)學生的學習興趣，讓好奇和問題帶領學生沉浸在數學探索的過程中。

我始終認為，面向人的全面發(fā)展的數學課堂不應該只有抽象的概念和難解的題目，數學教師要保持終身學習，不斷積累，使教學基于教材又高于教材，用鮮活生動的案例激發(fā)學生的學習興趣，鼓勵他們不畏艱難、勇于探索數學的本質，幫助他們學會欣賞數學之美，體驗發(fā)現和創(chuàng)造的成就感。

《中國教育報》2024年06月07日第5版